🌳 Árvore de Decisão
| Pergunta |
Desenho |
Normalidade? |
Variâncias |
Teste |
| Média | Pareado | Sim | — | t pareado |
| Média | Pareado | Não | — | Wilcoxon pareado |
| Média | Independente | Sim | σ² conhecido | Teste Z |
| Média | Independente | Sim | σ² iguais | t (variância combinada) |
| Média | Independente | Sim | σ² ≠ | t de Welch |
| Média | Independente | Não | — | Mann-Whitney |
| Variância | Independente | — | — | Levene |
| Correlação | — | Sim + linear | — | Pearson |
| Correlação | — | Ordinal | — | Spearman |
1. Teste t Pareado
Estatística
\(T_{obs} = \frac{\bar{D}}{S_D / \sqrt{n}}, \quad gl = n - 1\)
Onde \(D_i = X_i - Y_i\), \(\bar{D}\) = média das diferenças, \(S_D\) = desvio padrão das diferenças.
H₀: \(\mu_D = 0\) | Pressuposto: \(D_i \sim\) Normal
2. Teste Z — Duas Médias Independentes (σ conhecido)
Estatística
\(Z_{obs} = \frac{(\bar{X}_1 - \bar{X}_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}}\)
H₀: \(\mu_1 - \mu_2 = 0\) | Requer: \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\) conhecidos (populacionais).
3. Teste t — Variância Combinada (Pooled)
Variância Combinada
\(S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}\)
Estatística
\(T_{obs} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}, \quad gl = n_1 + n_2 - 2\)
H₀: \(\mu_1 - \mu_2 = 0\) | Pressuposto: normalidade + \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\).
4. Teste t de Welch
Estatística
\(T_{obs} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}\)
Graus de liberdade (Satterthwaite)
\(gl = \frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left(\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2 - 1}}\)
H₀: \(\mu_1 - \mu_2 = 0\) | Pressuposto: normalidade. Não assume variâncias iguais.
5. Teste de Levene
Compara variâncias usando desvios absolutos em relação à mediana de cada grupo.
Desvios
\(Z_{ij} = |X_{ij} - \tilde{X}_j|\) (onde \(\tilde{X}_j\) é a mediana do grupo j)
Estatística
\(F_{obs}\) baseado na ANOVA dos \(Z_{ij}\), com \(gl_1 = 1\) e \(gl_2 = n_1 + n_2 - 2\).
H₀: \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) | Rejeita se \(F_{obs} > F_{crítico}\).
6. Teste de Wilcoxon Pareado
- Calcular \(D_i\), remover os \(D_i = 0\)
- Ordenar \(|D_i|\) e atribuir postos (média para empates)
- \(W^+\) = soma dos postos com \(D_i > 0\); \(W^-\) = soma dos postos com \(D_i < 0\)
Aproximação Normal (n ≥ 6)
\(Z_{obs} = \frac{W^+ - E(W^+)}{\sqrt{Var(W^+)}}\), onde \(E(W^+) = \frac{n(n+1)}{4}\), \(Var(W^+) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\)
7. Teste de Mann-Whitney
- Combinar as duas amostras e atribuir postos
- \(W_1\) = soma dos postos do grupo 1
- \(U_1 = W_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}\)
Aproximação Normal
\(Z_{obs} = \frac{U_1 - E(U_1)}{\sqrt{Var(U_1)}}\), onde \(E(U_1) = \frac{n_1 n_2}{2}\), \(Var(U_1) = \frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}\)
H₀: \(\eta_1 = \eta_2\) (mesma posição central)
8. Correlação de Pearson
Coeficiente
\(r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}\)
Teste de significância
\(T_{obs} = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}, \quad gl = n - 2\)
H₀: \(\rho = 0\) | Mede correlação linear.
9. Correlação de Spearman
Coeficiente (sem empates)
\(r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2-1)}\), onde \(d_i = \text{posto}(x_i) - \text{posto}(y_i)\)
Teste (aproximação t)
\(T_{obs} = \frac{r_s\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_s^2}}, \quad gl = n - 2\)
H₀: \(\rho_s = 0\) | Mede associação monotônica. Adequado para variáveis ordinais.
📖 Como Usar as Tabelas
Tabela Normal Padrão (Z)
A maioria das tabelas Z acumuladas fornece a área à esquerda do valor z, ou seja, \(P(Z < z)\).
- Teste Unilateral à Esquerda (\(H_1 < 0\)): Busque a probabilidade \(\alpha\) (ex: 0,0500) no "miolo" (corpo) da tabela. O cruzamento de linha e coluna dará o valor Z negativo (ex: -1,64).
- Teste Unilateral à Direita (\(H_1 > 0\)): Como a tabela mostra a área à esquerda, busque a probabilidade complementar \(1 - \alpha\) (ex: 0,9500) no miolo. O cruzamento dará o Z positivo (ex: +1,64).
- Teste Bilateral (\(H_1 \neq 0\)): A área de rejeição é dividida nas duas caudas (\(\alpha/2\)). Para \(\alpha = 5\%\), busque \(0,0250\) (Z = -1,96) e \(0,9750\) (Z = +1,96).
Tabela t de Student
Diferente da Z, as colunas da tabela t indicam diretamente a área da cauda (nível de significância \(\alpha\)), e as linhas indicam os graus de liberdade (\(gl\) ou \(\nu\)).
- Passo 1 (Linha): Calcule os graus de liberdade (\(gl\)) para o seu teste específico e desça na primeira coluna da tabela até encontrar esse número.
- Passo 2 (Coluna): Depende da sua hipótese alternativa:
- Unilateral (uma cauda): Olhe para a coluna correspondente ao \(\alpha\) inteiro (ex: coluna de \(0,05\)).
- Bilateral (duas caudas): Olhe para a coluna correspondente a \(\alpha/2\) (ex: coluna de \(0,025\)). Algumas tabelas possuem um cabeçalho duplo, facilitando e mostrando a área nas duas caudas (use a coluna de \(0,05\)).
- Passo 3 (Sinal): O cruzamento é o \(t_{crítico}\) (sempre positivo na tabela). Se o seu teste for unilateral à esquerda (\(H_1 < 0\)), você deve adicionar o sinal negativo ao valor encontrado (ex: -2,145).
Valores Críticos Comuns (α = 5%)
| Distribuição |
Bilateral (α/2 = 2,5%) |
Unilateral (α = 5%) |
| Z (Normal) |
±1,96 |
±1,645 |
| t (gl = 5) |
±2,571 |
±2,015 |
| t (gl = 7) |
±2,365 |
±1,895 |
| t (gl = 10) |
±2,228 |
±1,812 |
| t (gl = 12) |
±2,179 |
±1,782 |