Lição 7 — Testes Não Paramétricos

🎯 Objetivo desta lição

Dominar os dois testes não paramétricos da disciplina: Wilcoxon pareado (alternativa ao t pareado) e Mann-Whitney (alternativa ao t independente). Você vai saber resolver as questões 3, 5, 9, 13, 16 e 20 da lista complementar.

Quando usar testes não paramétricos?

Use quando o enunciado disser:

"Não se deseja assumir normalidade"
"O teste de normalidade rejeitou H₀"
"Considere um teste não paramétrico adequado"

Desenho	Paramétrico	Não Paramétrico
Pareado	Teste t pareado	Wilcoxon pareado
Independente	Teste t (pooled/Welch)	Mann-Whitney

⚠️ Não confunda os dois!

O erro mais perigoso: usar Mann-Whitney em dados pareados ou Wilcoxon em dados independentes. Identifique o desenho primeiro, depois escolha o teste.

Teste de Wilcoxon Pareado

Procedimento Passo a Passo

1

Calcular as diferenças

\(D_i = X_i - Y_i\) para cada par.

Remover as diferenças nulas (\(D_i = 0\)) — elas não participam do teste. O \(n\) efetivo diminui.

2

Ordenar os |Dᵢ| e atribuir postos

Ordene os valores absolutos \(|D_i|\) do menor para o maior e atribua postos (ranks) de 1 a n.

Empates: use a média dos postos correspondentes.

3

Calcular W⁺ e W⁻

Somas de postos \(W^+ = \sum \text{postos onde } D_i > 0, \quad W^- = \sum \text{postos onde } D_i < 0\)

Verificação: \(W^+ + W^- = \frac{n(n+1)}{2}\)

4

Calcular a estatística Z (aproximação normal)

Aproximação Normal \(Z_{obs} = \frac{W^+ - E(W^+)}{\sqrt{Var(W^+)}}\)

Valores esperados \(E(W^+) = \frac{n(n+1)}{4}, \quad Var(W^+) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\)

5

Concluir

Compare \(Z_{obs}\) com o valor crítico da Normal padrão (1,645 unilateral, 1,96 bilateral).

Exemplo — Questão 3 da Lista Complementar

✏️ Resolução Completa

Tempo de execução antes e depois de otimização, mesmas instâncias (pareado), sem normalidade:

Antes: 30, 28, 35, 40, 38, 36
Depois: 25, 26, 32, 35, 34, 33

Passo 1 — Diferenças (D = Antes − Depois)

\(D: 5, 2, 3, 5, 4, 3\)

Nenhuma diferença nula. Todas positivas (\(D_i > 0\)). \(n = 6\).

Passo 2 — Ordenar |Dᵢ| e atribuir postos

\|Dᵢ\|	Valor	Posto
\|D₂\|	2	1
\|D₃\|	3	2,5 (empate)
\|D₆\|	3	2,5 (empate)
\|D₅\|	4	4
\|D₁\|	5	5,5 (empate)
\|D₄\|	5	5,5 (empate)

Passo 3 — W⁺ e W⁻

Todos os \(D_i\) são positivos, então:

\(W^+ = 1 + 2{,}5 + 2{,}5 + 4 + 5{,}5 + 5{,}5 = 21\)

\(W^- = 0\)

Verificação: \(21 + 0 = \frac{6 \times 7}{2} = 21\) ✓

Passo 4 — Estatística Z

\(E(W^+) = \frac{6 \times 7}{4} = 10{,}5\)

\(Var(W^+) = \frac{6 \times 7 \times 13}{24} = \frac{546}{24} = 22{,}75\)

\(Z_{obs} = \frac{21 - 10{,}5}{\sqrt{22{,}75}} = \frac{10{,}5}{4{,}770} \approx 2{,}201\)

Passo 5 — Conclusão

Teste unilateral à direita (redução → D > 0 → \(W^+\) grande): \(z_{crit} = 1{,}645\).

\(Z_{obs} = 2{,}201 > 1{,}645\) → Rejeita \(H_0\).

Há indícios de redução no tempo após a otimização.

Caso Especial: Diferenças Nulas

💡 Q13 e Q20 da lista complementar

Quando alguma diferença \(D_i = 0\):

Remova essa observação completamente
Reduza \(n\) (ex: de 7 para 6, ou de 6 para 5)
Atribua postos apenas aos \(|D_i|\) restantes
Recalcule \(E(W^+)\) e \(Var(W^+)\) com o \(n\) reduzido

Teste de Mann-Whitney

Procedimento Passo a Passo

1

Combinar e ordenar as amostras

Junte todas as observações dos dois grupos em uma lista só e ordene. Atribua postos de 1 a \(N = n_1 + n_2\).

Empates: use a média dos postos.

2

Calcular a soma dos postos do grupo 1

Soma dos postos \(W_1 = \sum \text{postos das observações do grupo 1}\)

3

Calcular a estatística U

Estatística U \(U_1 = W_1 - \frac{n_1(n_1+1)}{2}\)

4

Calcular Z (aproximação normal)

Aproximação Normal \(Z_{obs} = \frac{U_1 - E(U_1)}{\sqrt{Var(U_1)}}\)

Valores esperados \(E(U_1) = \frac{n_1 \cdot n_2}{2}, \quad Var(U_1) = \frac{n_1 \cdot n_2 \cdot (n_1 + n_2 + 1)}{12}\)

Exemplo — Questão 5 da Lista Complementar

✏️ Resolução Completa

Duas turmas independentes, sem normalidade:

Turma X: 68, 70, 72, 75, 78
Turma Y: 60, 62, 65, 66, 69

Passo 1 — Combinar, ordenar e atribuir postos

Valor	Grupo	Posto
60	Y	1
62	Y	2
65	Y	3
66	Y	4
68	X	5
69	Y	6
70	X	7
72	X	8
75	X	9
78	X	10

Passo 2 — Soma dos postos da Turma X

\(W_X = 5 + 7 + 8 + 9 + 10 = 39\)

Passo 3 — Estatística U

\(U_X = 39 - \frac{5 \times 6}{2} = 39 - 15 = 24\)

Passo 4 — Aproximação Normal

\(n_1 = n_2 = 5\)

\(E(U_X) = \frac{5 \times 5}{2} = 12{,}5\)

\(Var(U_X) = \frac{5 \times 5 \times 11}{12} = \frac{275}{12} = 22{,}917\)

\(Z_{obs} = \frac{24 - 12{,}5}{\sqrt{22{,}917}} = \frac{11{,}5}{4{,}787} \approx 2{,}402\)

Passo 5 — Conclusão

Bilateral: \(|Z_{obs}| = 2{,}402 > 1{,}96\) → Rejeita \(H_0\).

Há indícios de diferença na posição central das notas entre as turmas.

Lidando com Empates

💡 Empates no Mann-Whitney (Q9 da lista complementar)

Quando observações de grupos diferentes empatam:

Atribua a média dos postos que aqueles valores ocupariam
Ex: se os valores nas posições 4 e 5 são iguais, ambos recebem posto \((4+5)/2 = 4{,}5\)

As fórmulas de \(E(U)\) e \(Var(U)\) podem ter correção para empates, mas na disciplina geralmente usamos a fórmula sem correção.

🧪 Quiz — Testes Não Paramétricos

🧠 Teste seu Conhecimento

1 No Wilcoxon pareado, se uma diferença \(D_i = 0\), o que fazemos?

AAtribuímos posto 0 a essa diferença e incluímos em W⁺
BRemovemos essa observação e reduzimos n em 1
CSubstituímos por um valor muito pequeno (ex: 0,001)
DIncluímos metade do posto em W⁺ e metade em W⁻

✅ Correto! Diferenças nulas são excluídas do teste e o n efetivo diminui. Ex: se n = 7 e uma diferença é 0, o teste usa n = 6.

❌ No Wilcoxon pareado, diferenças nulas são simplesmente removidas. O n efetivo é reduzido. Não atribuímos posto a elas.

2 No Wilcoxon pareado com n = 6 (após remover zeros), qual é \(E(W^+)\)?

A\(E(W^+) = \frac{6 \times 7}{4} = 10{,}5\)
B\(E(W^+) = \frac{6 \times 7}{2} = 21{,}0\)
C\(E(W^+) = \frac{6 \times 6}{4} = 9{,}0\)
D\(E(W^+) = \frac{6 \times 5}{4} = 7{,}5\)

✅ Correto! \(E(W^+) = \frac{n(n+1)}{4} = \frac{6 \times 7}{4} = 10{,}5\).

❌ A fórmula é \(E(W^+) = \frac{n(n+1)}{4}\). Com n = 6: \(\frac{6 \times 7}{4} = 10{,}5\). Note: é \(n+1\) no numerador, não \(n-1\).

3 No Mann-Whitney, qual é a hipótese nula?

A\(H_0: \mu_1 = \mu_2\) (as médias são iguais)
B\(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) (as variâncias são iguais)
C\(H_0: \mu_D = 0\) (a média das diferenças é zero)
D\(H_0: \eta_1 = \eta_2\) (mesma posição central / mediana)

✅ Correto! O Mann-Whitney testa igualdade de posição central (medianas), usando a notação \(\eta\). Como é não paramétrico, não fala em \(\mu\).

❌ O Mann-Whitney é um teste sobre posição central (mediana \(\eta\)), não sobre a média \(\mu\). Como é não paramétrico, não assume distribuição normal e usa \(\eta\) em vez de \(\mu\).

4 No Mann-Whitney com \(n_1 = 6\) e \(n_2 = 6\), qual é \(Var(U_1)\)?

A\(\frac{6 \times 6 \times 12}{24} = 18{,}0\)
B\(\frac{6 \times 6}{2} = 18{,}0\)
C\(\frac{6 \times 6 \times 13}{12} = 39{,}0\)
D\(\frac{6 \times 6 \times 11}{12} = 33{,}0\)

✅ Correto! \(Var(U_1) = \frac{n_1 \cdot n_2 \cdot (n_1 + n_2 + 1)}{12} = \frac{6 \times 6 \times 13}{12} = \frac{468}{12} = 39\).

❌ A fórmula é \(\frac{n_1 \cdot n_2 \cdot (n_1 + n_2 + 1)}{12}\). Com \(n_1 = n_2 = 6\): \(\frac{6 \times 6 \times (6+6+1)}{12} = \frac{6 \times 6 \times 13}{12} = 39\).

5 Valores empatados nas posições 3, 4 e 5 de uma lista ordenada. Qual posto cada um recebe?

ACada um recebe o posto 3 (o menor dos postos)
BCada um recebe o posto 4 (média de 3, 4 e 5)
CCada um recebe o posto 5 (o maior dos postos)
DO primeiro recebe 3, o segundo 4, o terceiro 5

✅ Correto! Empates recebem a média dos postos que ocupariam: \((3+4+5)/3 = 4\). Todos recebem posto 4.

❌ Para empates, calculamos a média dos postos correspondentes: \((3+4+5)/3 = 4\). Cada valor empatado recebe o posto 4.

Pontuação: —