Lição 6 — Teste de Levene

🎯 Objetivo desta lição

Entender o Teste de Levene para comparar variâncias: quando usá-lo, como interpretá-lo, e como ele guia a escolha entre pooled e Welch. Você vai saber resolver a Questão 8 da lista principal e as questões 6, 12 e 18 da lista complementar.

Quando usar o Teste de Levene?

O Teste de Levene aparece em duas situações na prova:

📐 Situação 1: A pergunta é sobre estabilidade

O enunciado pergunta diretamente se a dispersão (variabilidade, estabilidade, regularidade) é diferente entre os grupos.

Ex: "Suspeita-se que B pode ter estabilidade diferente de A" (Q8 da lista).

🔧 Situação 2: Passo preliminar antes do teste t

Antes de comparar médias, testamos se as variâncias são iguais para decidir entre pooled e Welch.

Ex: "O teste de Levene produziu \(F_{obs} = 0{,}82\)..." (Q6 da lista complementar).

Como o Teste de Levene Funciona

A ideia é engenhosa: transformar um problema de variâncias em um problema de médias.

1

Calcular a mediana de cada grupo

Para cada grupo \(j\), encontre \(\tilde{X}_j\) (mediana).

2

Calcular os desvios absolutos

Desvios absolutos em relação à mediana \(Z_{ij} = |X_{ij} - \tilde{X}_j|\)

Cada observação original é substituída pelo seu desvio absoluto em relação à mediana do grupo.

3

Aplicar ANOVA nos desvios

A estatística \(F_{obs}\) é calculada sobre os \(Z_{ij}\) (como se fosse uma comparação de médias entre os desvios dos dois grupos).

Graus de liberdade \(gl_1 = k - 1 = 1 \quad\) (k = 2 grupos), \(\quad gl_2 = N - k = n_1 + n_2 - 2\)

4

Conclusão

\(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) vs. \(H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\)

Rejeita \(H_0\) se \(F_{obs} > F_{\alpha; gl_1, gl_2}\) (sempre unilateral à direita na distribuição F).

💡 Por que a mediana e não a média?

Usar a mediana torna o teste mais robusto contra dados não normais e outliers. Na prova, quando o enunciado diz "use a mediana de cada grupo", é referência direta ao Levene.

Exemplo — Questão 8 da Lista Principal

✏️ Resolução Completa

Dois APIs independentes, 6 requisições cada. Suspeita de estabilidade diferente:

\(A: 48, 50, 52, 49, 51, 50 \quad\) \(B: 30, 70, 45, 55, 38, 62\)

Passo 1 — Identificação

A pergunta é sobre estabilidade = variância. Parâmetro: \(\sigma_A^2 / \sigma_B^2\).

\(H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2\) vs. \(H_1: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2\)

Passo 2 — Medianas

A ordenado: 48, 49, 50, 50, 51, 52 → \(\tilde{X}_A = (50+50)/2 = 50\)

B ordenado: 30, 38, 45, 55, 62, 70 → \(\tilde{X}_B = (45+55)/2 = 50\)

Passo 3 — Desvios absolutos

Grupo A: \(Z_A = |48-50|, |50-50|, |52-50|, |49-50|, |51-50|, |50-50| = 2, 0, 2, 1, 1, 0\)

Grupo B: \(Z_B = |30-50|, |70-50|, |45-50|, |55-50|, |38-50|, |62-50| = 20, 20, 5, 5, 12, 12\)

\(\bar{Z}_A = \frac{2+0+2+1+1+0}{6} = 1{,}0\)

\(\bar{Z}_B = \frac{20+20+5+5+12+12}{6} = \frac{74}{6} \approx 12{,}33\)

Passo 4 — Interpretação

A diferença nos desvios médios é enorme (1,0 vs 12,33). O \(F_{obs}\) resultante será grande e certamente rejeitará \(H_0\).

Ao nível de 5%, há indícios de que as variâncias populacionais diferem. A API B é muito menos estável que A.

Levene como Passo Preliminar

Em várias questões da lista complementar, o \(F_{obs}\) do Levene já é dado pelo enunciado. Você só precisa interpretar:

Questão	\(F_{obs}\)	\(gl_1, gl_2\)	Resultado	Próximo teste
Q6	0,82	1, 10	Não rejeita H₀	Pooled
Q12	7,12	1, 10	Rejeita H₀	Welch
Q18	4,91	1, 10	Não rejeita H₀ (borderline)	Pooled

⚠️ Valor crítico de referência

Para \(gl_1 = 1, gl_2 = 10\) com α = 5%: \(F_{0,05; 1, 10} \approx 4{,}96\).

\(F_{obs} < 4{,}96\) → não rejeita → variâncias iguais → pooled
\(F_{obs} > 4{,}96\) → rejeita → variâncias diferentes → Welch

🧪 Quiz — Teste de Levene

🧠 Teste seu Conhecimento

1 O Teste de Levene compara qual parâmetro?

AAs médias das duas populações (\(\mu_1\) e \(\mu_2\))
BAs variâncias das duas populações (\(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\))
CAs medianas das duas populações
DA correlação entre as duas variáveis

✅ Correto! O Levene testa \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\), ou seja, igualdade de variâncias.

❌ O Levene compara variâncias (\(\sigma_1^2\) vs \(\sigma_2^2\)). A mediana é usada internamente no cálculo, mas o parâmetro testado é a variância.

2 Levene deu \(F_{obs} = 3{,}50\), \(gl_1 = 1\), \(gl_2 = 10\), e \(F_{crit} = 4{,}96\). Qual o próximo passo para comparar médias?

AUsar Welch, pois o Levene é apenas uma recomendação
BNão é possível comparar médias quando o Levene não rejeita
CUsar t com variância combinada (pooled), pois não rejeitou H₀ do Levene
DUsar o teste Z, pois agora as variâncias são conhecidas

✅ Correto! \(F_{obs} = 3{,}50 < 4{,}96\) → não rejeita H₀ → variâncias iguais → teste t com variância combinada.

❌ \(F_{obs} < F_{crit}\) → não rejeitamos igualdade de variâncias. Portanto, é razoável usar variâncias iguais → teste t pooled.

3 No Teste de Levene, por que usamos desvios em relação à mediana (não à média)?

APorque a mediana torna o teste mais robusto contra outliers e não normalidade
BPorque a média não pode ser calculada para dados não numéricos
CPorque a mediana é sempre mais fácil de calcular que a média
DPorque a mediana sempre coincide com a média em dados normais

✅ Correto! A mediana é mais robusta contra outliers e assimetria, tornando o teste de Levene confiável mesmo quando os dados não são perfeitamente normais.

❌ A principal razão é robustez: a mediana é menos afetada por valores extremos e assimetria do que a média, o que torna o Levene mais confiável.

4 O Levene rejeitou H₀ (variâncias diferentes) e depois o Welch não rejeitou H₀ (médias iguais). A que conclusão chegamos?

AAs populações são idênticas em todos os aspectos
BHá diferença de médias, mas os dados são insuficientes
CAs variâncias e as médias são ambas diferentes
DAs variâncias são diferentes, mas não há evidência de diferença nas médias

✅ Correto! Cada teste responde a uma pergunta diferente. Variâncias diferentes ≠ médias diferentes. São parâmetros independentes. (Ver Q12 da lista complementar.)

❌ Variância e média são parâmetros independentes. É perfeitamente possível ter dispersão diferente mas posição central similar. Cada teste responde a uma pergunta.

Pontuação: —