Variância combinada (pooled) vs. Welch — os dois caminhos quando σ é desconhecido.
Aprender os dois testes t para amostras independentes: com variância combinada (quando σ₁² = σ₂²) e Welch (quando σ₁² ≠ σ₂²). Você vai saber resolver as questões 1, 6, 11, 12, 15, 17 e 18 da lista complementar.
Quando temos amostras independentes com variâncias desconhecidas e normalidade razoável, precisamos decidir entre dois caminhos:
Usado quando podemos assumir variâncias populacionais iguais: \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\).
Pistas no enunciado:
Usado quando não podemos assumir variâncias iguais.
Pistas no enunciado:
Às vezes o próprio exercício pede primeiro para testar as variâncias (Levene) e depois escolher o teste t adequado. Ex: Questões 6, 12 e 18 da lista complementar.
É uma média ponderada das variâncias amostrais, ponderada pelos graus de liberdade de cada grupo.
Algoritmos A e B, amostras independentes, normalidade + variâncias iguais:
\(A: 12, 14, 13, 15, 16, 14 \quad\) \(B: 18, 17, 19, 20, 16, 18\)
\(\bar{X}_A = \frac{12+14+13+15+16+14}{6} = \frac{84}{6} = 14{,}00\)
\(\bar{X}_B = \frac{18+17+19+20+16+18}{6} = \frac{108}{6} = 18{,}00\)
\(S_A^2 = \frac{(12-14)^2 + (14-14)^2 + \ldots + (14-14)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2{,}00\)
\(S_B^2 = \frac{(18-18)^2 + (17-18)^2 + \ldots + (18-18)^2}{5} = \frac{10}{5} = 2{,}00\)
\(S_p^2 = \frac{(6-1) \cdot 2{,}00 + (6-1) \cdot 2{,}00}{6+6-2} = \frac{5 \cdot 2 + 5 \cdot 2}{10} = \frac{20}{10} = 2{,}00\)
\(T_{obs} = \frac{14{,}00 - 18{,}00}{\sqrt{2{,}00 \cdot (1/6 + 1/6)}} = \frac{-4{,}00}{\sqrt{2{,}00 \cdot 0{,}333}} = \frac{-4{,}00}{\sqrt{0{,}667}} = \frac{-4{,}00}{0{,}816} \approx -4{,}899\)
\(gl = 6 + 6 - 2 = 10\)
Bilateral, α = 5%: \(t_{0{,}025; 10} = 2{,}228\).
\(|T_{obs}| = 4{,}899 > 2{,}228\) → Rejeita \(H_0\).
Há indícios de diferença entre os tempos médios de execução dos algoritmos.
Quando não podemos assumir variâncias iguais, usamos Welch. A diferença principal:
Parece com o Z, mas usa \(S^2\) (amostrais) em vez de \(\sigma^2\) (populacionais).
Resultado geralmente não é inteiro — arredonde para baixo para ser conservador.
Sistemas A e B, independentes, normalidade, variâncias possivelmente diferentes:
\(A: 48, 50, 49, 51, 52, 50 \quad\) \(B: 40, 45, 55, 60, 70, 80\)
\(\bar{X}_A = 50{,}00, \quad S_A^2 = 2{,}00\)
\(\bar{X}_B = 58{,}33, \quad S_B^2 = 226{,}67\)
Note: as variâncias são muito diferentes (2,00 vs 226,67) — Welch é necessário.
\(T_{obs} = \frac{50{,}00 - 58{,}33}{\sqrt{2{,}00/6 + 226{,}67/6}} = \frac{-8{,}33}{\sqrt{0{,}333 + 37{,}778}} = \frac{-8{,}33}{\sqrt{38{,}111}} = \frac{-8{,}33}{6{,}174} \approx -1{,}350\)
\(gl = \frac{(0{,}333 + 37{,}778)^2}{\frac{0{,}333^2}{5} + \frac{37{,}778^2}{5}} = \frac{38{,}111^2}{\frac{0{,}111}{5} + \frac{1427{,}18}{5}} \approx \frac{1452{,}5}{285{,}46} \approx 5{,}09\)
Arredondando: \(gl \approx 5\).
Bilateral, α = 5%, gl = 5: \(t_{0{,}025; 5} = 2{,}571\).
\(|T_{obs}| = 1{,}350 < 2{,}571\) → Não rejeita \(H_0\).
Não há indícios suficientes de diferença entre os tempos médios. Porém, a variabilidade de B é muito maior — igualdade de médias não implica igualdade de estabilidade!
| Aspecto | Pooled | Welch |
|---|---|---|
| Pressuposto sobre variâncias | \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\) | Nenhum |
| Denominador | \(\sqrt{S_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}\) | \(\sqrt{S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2}\) |
| Graus de liberdade | \(n_1 + n_2 - 2\) (simples) | Satterthwaite (complicado) |
| Quando usar | Levene não rejeitou / enunciado assume igualdade | Levene rejeitou / enunciado diz "possivelmente diferentes" |