Quando as variâncias populacionais são conhecidas — o caso mais "limpo" de comparação.
Dominar o teste Z para comparar duas médias de populações independentes quando \(\sigma_1^2\) e \(\sigma_2^2\) são conhecidos. Você vai saber resolver a Questão 6 da lista principal e a Questão 9 (unilateral).
O Teste Z para duas médias independentes exige três condições:
O enunciado pode dar \(\sigma = 8\) (desvio padrão populacional, conhecido do fabricante, de medições históricas, etc.) ou \(s = 8\) (calculado da amostra).
Confundir os dois é o erro da Questão 7d da lista: "Tinha as variâncias amostrais \(s_1^2\) e \(s_2^2\) calculadas dos dados, então usei o teste Z." — errado!
Confirmar: amostras independentes + variâncias populacionais conhecidas.
Nota: não há graus de liberdade — a distribuição é a Normal padrão.
Valores críticos da Normal padrão (α = 5%):
| Tipo | Valor crítico | Regra de rejeição |
|---|---|---|
| Bilateral | \(z_{0,025} = 1{,}96\) | \(|Z_{obs}| > 1{,}96\) |
| Unilateral direita | \(z_{0,05} = 1{,}645\) | \(Z_{obs} > 1{,}645\) |
| Unilateral esquerda | \(z_{0,05} = 1{,}645\) | \(Z_{obs} < -1{,}645\) |
Dois servidores independentes. Variâncias conhecidas. Dados:
\(\sigma_1 = 8\text{ ms}, \quad \sigma_2 = 6\text{ ms}\)
\(n_1 = 40, \quad n_2 = 50\)
\(\bar{x}_1 = 152\text{ ms}, \quad \bar{x}_2 = 148\text{ ms}\)
Investigue se as latências médias diferem (α = 5%).
Amostras independentes + variâncias populacionais conhecidas (\(\sigma_1, \sigma_2\)) → Teste Z.
\(H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\) vs. \(H_1: \mu_1 - \mu_2 \neq 0\)
Teste bilateral (pergunta se "diferem", sem direção).
\(EP = \sqrt{\frac{8^2}{40} + \frac{6^2}{50}} = \sqrt{\frac{64}{40} + \frac{36}{50}} = \sqrt{1{,}6 + 0{,}72} = \sqrt{2{,}32} \approx 1{,}523\)
\(Z_{obs} = \frac{152 - 148}{1{,}523} = \frac{4}{1{,}523} \approx 2{,}627\)
Bilateral, α = 5%: valor crítico = \(\pm 1{,}96\).
\(|Z_{obs}| = 2{,}627 > 1{,}96\) → Rejeita \(H_0\).
Ao nível de 5%, há indícios estatísticos de que as latências médias dos servidores diferem.
Novo algoritmo de compressão (grupo 1) vs. atual (grupo 2). \(\sigma_1 = \sigma_2 = 15\), \(n_1 = n_2 = 25\), \(\bar{x}_1 = 420\), \(\bar{x}_2 = 410\). Deseja-se mostrar que o novo tem média maior.
"Mostrar que o novo (1) tem média maior":
\(H_0: \mu_1 - \mu_2 = 0\) vs. \(H_1: \mu_1 - \mu_2 > 0\)
Teste unilateral à direita.
\(EP = \sqrt{\frac{15^2}{25} + \frac{15^2}{25}} = \sqrt{\frac{225}{25} + \frac{225}{25}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4{,}243\)
\(Z_{obs} = \frac{420 - 410}{4{,}243} = \frac{10}{4{,}243} \approx 2{,}357\)
Unilateral direita, α = 5%: valor crítico = \(1{,}645\).
\(Z_{obs} = 2{,}357 > 1{,}645\) → Rejeita \(H_0\).
Ao nível de 5%, há indícios de que o novo algoritmo tem taxa de compressão média maior.
| Aspecto | Teste Z | Teste t |
|---|---|---|
| Variâncias | \(\sigma^2\) conhecida (dada) | \(s^2\) estimada (calculada dos dados) |
| Distribuição | Normal padrão (\(Z\)) | t de Student (com gl) |
| Graus de liberdade | Não tem | \(n_1 + n_2 - 2\) (pooled) ou Satterthwaite (Welch) |
| Valor crítico (bilateral, 5%) | Sempre ±1,96 | Depende de gl (sempre > 1,96) |
Se o enunciado diz "desvio-padrão conhecido" ou "desvio-padrão informado pelo fabricante", é σ (populacional) → use Z. Se os dados brutos são fornecidos e você calcula s, → use t.