Lição 3 — Teste t Pareado

🎯 Objetivo desta lição

Aprender a executar o teste t pareado do início ao fim: definir \(D_i\), formular hipóteses, calcular a estatística, e concluir. Ao final, você saberá resolver questões como a Questão 4 da lista principal e a Questão 10.

Quando usar o Teste t Pareado?

Dados pareados (mesmas unidades em duas condições)
As diferenças \(D_i\) seguem distribuição aproximadamente normal
Variância das diferenças é desconhecida (estimada pela amostra)

O teste t pareado transforma o problema de duas amostras dependentes em um problema de uma amostra: testamos se a média das diferenças é zero.

Procedimento Passo a Passo

1

Calcular as diferenças

Para cada par \(i\), calcule:

Diferença \(D_i = X_i - Y_i\)

Defina claramente o sentido (ex: Antes − Depois). Isso determina a direção de H₁.

2

Calcular média e desvio padrão das diferenças

Média das diferenças \(\bar{D} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} D_i\)

Desvio padrão das diferenças \(S_D = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (D_i - \bar{D})^2}\)

3

Formular as hipóteses

Bilateral: \(H_0: \mu_D = 0\) vs. \(H_1: \mu_D \neq 0\)
Unilateral: \(H_0: \mu_D = 0\) vs. \(H_1: \mu_D > 0\) ou \(H_1: \mu_D < 0\)

4

Calcular a estatística de teste

Estatística t \(T_{obs} = \frac{\bar{D}}{S_D / \sqrt{n}}\)

Graus de liberdade: \(gl = n - 1\)

5

Comparar e concluir

Compare \(T_{obs}\) com o valor crítico da tabela t com \(n-1\) graus de liberdade:

Bilateral: rejeita H₀ se \(|T_{obs}| > t_{\alpha/2, n-1}\)
Unilateral direita: rejeita H₀ se \(T_{obs} > t_{\alpha, n-1}\)
Unilateral esquerda: rejeita H₀ se \(T_{obs} < -t_{\alpha, n-1}\)

Exemplo Completo — Questão 4 da Lista

✏️ Resolução Passo a Passo

Um desenvolvedor mede o consumo de memória (MB) nas mesmas 8 cargas de trabalho, antes e depois de um patch. As diferenças \(D_i = \text{Antes}_i - \text{Depois}_i\) (em MB) foram:

\(D: 5, 3, 4, 6, 2, 5, 4, 3\)

Investigue, ao nível α = 5%, se o patch reduziu o consumo médio.

Passo 1 — Identificar o desenho

Pareado: mesmas cargas de trabalho medidas antes e depois.

Parâmetro: \(\mu_D\) (média das diferenças).

Passo 2 — Hipóteses

D = Antes − Depois. Se o patch reduziu o consumo, Antes > Depois, logo D > 0.

\(H_0: \mu_D = 0\) vs. \(H_1: \mu_D > 0\)

Teste unilateral à direita.

Passo 3 — Calcular \(\bar{D}\)

\(\bar{D} = \frac{5 + 3 + 4 + 6 + 2 + 5 + 4 + 3}{8} = \frac{32}{8} = 4{,}0\)

Passo 4 — Calcular \(S_D\)

Desvios em relação à média: \((1, -1, 0, 2, -2, 1, 0, -1)\)

\(\sum(D_i - \bar{D})^2 = 1 + 1 + 0 + 4 + 4 + 1 + 0 + 1 = 12\)

\(S_D^2 = \frac{12}{8-1} = \frac{12}{7} \approx 1{,}714\)

\(S_D = \sqrt{1{,}714} \approx 1{,}309\)

Passo 5 — Calcular a estatística

\(T_{obs} = \frac{\bar{D}}{S_D / \sqrt{n}} = \frac{4{,}0}{1{,}309 / \sqrt{8}} = \frac{4{,}0}{0{,}463} \approx 8{,}641\)

Graus de liberdade: \(gl = 8 - 1 = 7\)

Passo 6 — Conclusão

Valor crítico: \(t_{0{,}05; 7} \approx 1{,}895\) (unilateral, tabela t)

Como \(T_{obs} = 8{,}641 > 1{,}895\), rejeitamos \(H_0\).

Conclusão: Ao nível de 5%, há indícios estatísticos de que o patch reduziu o consumo médio de memória.

Pressupostos e Verificação

⚠️ O que verificar antes de confiar no resultado

O teste t pareado pressupõe que as diferenças \(D_i\) vêm de uma população normal. Na prova, o professor cobra isso explicitamente (Questão 10d: "qual pressuposto você verificaria, e sobre quais valores?").

Verificar normalidade sobre os \(D_i\), não sobre X ou Y.
Usar teste formal (Shapiro-Wilk) e análise gráfica (histograma, QQ-plot).
Se normalidade é violada → usar Wilcoxon pareado (Lição 7).

🧪 Quiz — Teste t Pareado

🧠 Pratique o Raciocínio

1 Em um teste t pareado com n = 6 pares, quantos graus de liberdade temos?

A \(gl = 6\) (número de pares)
B \(gl = 5\) (número de pares menos um)
C \(gl = 10\) (total de observações menos dois)
D \(gl = 11\) (total de observações menos um)

✅ Correto! No teste t pareado, \(gl = n - 1\), onde n é o número de pares (não o total de observações).

❌ O teste t pareado trabalha com as diferenças. Temos n = 6 diferenças, logo \(gl = n - 1 = 5\).

2 A Questão 10 define \(D_i = \text{Antes}_i - \text{Depois}_i\) e quer testar se "a cobertura aumentou". As diferenças calculadas são: −6, −4, −5, −2, −6, −4. Se a cobertura aumentou, qual o sinal esperado dos \(D_i\)?

A Negativo, pois Depois > Antes implica D < 0
B Positivo, pois aumento sempre significa D > 0
C Zero, pois não há mudança significativa
D Depende do valor de α utilizado no teste

✅ Correto! Se a cobertura aumentou, Depois > Antes. Como D = Antes − Depois, temos D < 0. Logo \(H_1: \mu_D < 0\), unilateral à esquerda.

❌ Cuidado com o sinal! Se a cobertura aumentou, Depois > Antes. Mas D = Antes − Depois, então D < 0 quando houve aumento. O sinal depende da definição de D.

3 Dados: \(\bar{D} = 4{,}0\), \(S_D = 1{,}309\), \(n = 8\). Qual é o erro padrão da média das diferenças?

A \(1{,}309 / 8 = 0{,}164\)
B \(1{,}309 \times \sqrt{8} = 3{,}702\)
C \(1{,}309 / \sqrt{8} = 0{,}463\)
D \(4{,}0 / \sqrt{8} = 1{,}414\)

✅ Correto! O erro padrão é \(S_D / \sqrt{n} = 1{,}309 / \sqrt{8} \approx 0{,}463\). É esse valor que vai no denominador do \(T_{obs}\).

❌ O erro padrão da média das diferenças é \(S_D / \sqrt{n}\), não \(S_D / n\). Logo: \(1{,}309 / \sqrt{8} \approx 0{,}463\).

4 Se o teste de normalidade rejeita H₀ (dados não normais) para as diferenças de um estudo pareado, qual é a alternativa ao teste t pareado?

A Teste Z para duas médias independentes
B Teste de Mann-Whitney (não paramétrico independente)
C Teste t de Welch para variâncias desiguais
D Teste de Wilcoxon pareado (não paramétrico pareado)

✅ Correto! O Wilcoxon pareado é a alternativa não paramétrica ao teste t pareado. Mantém o desenho pareado, mas não exige normalidade.

❌ Como o desenho continua sendo pareado, precisamos de um teste não paramétrico para dados pareados: o Wilcoxon pareado. Mann-Whitney é para amostras independentes.

5 Obtemos \(T_{obs} = 2{,}45\), \(gl = 9\), e o valor crítico unilateral \(t_{0{,}05; 9} = 1{,}833\). Qual a conclusão?

A Não rejeitamos H₀, pois 2,45 < 1,833 × 2
B Rejeitamos H₀, pois 2,45 > 1,833
C Precisamos comparar com o valor bilateral, não o unilateral
D Não podemos concluir nada sem calcular o p-valor exato

✅ Correto! Em um teste unilateral, comparamos \(T_{obs}\) diretamente com o valor crítico. Como \(2{,}45 > 1{,}833\), rejeitamos \(H_0\).

❌ Em teste unilateral, a comparação é direta: \(T_{obs} > t_{crítico}\)? Se sim, rejeita. \(2{,}45 > 1{,}833\), logo rejeitamos H₀.

Pontuação: —